요약: 조암중 2학년 2학기 중간고사(2026.9.21)는 삼각형의 성질 62점·경우의 수와 확률 38점, 서·논술형 40점으로 출제됐습니다. 중상 난이도 문항이 8개로 많아 한 번 더 생각해야 하는 문항을 정확히 처리하는 것이 중요했고, 5번(정사각형 안의 정사각형)이 가장 변별력이 큰 문항이었습니다.
1. 시험 개요
- 학교: 조암중학교 (2학년)
- 시험명: 2026학년도 2학기 2학년 수학과 중간시험 (과목코드 05)
- 시험일: 2026년 9월 21일 (3교시)
- 소요 시간: 시험지에 표기 없음
- 문항 수: 선택형 16문항 + 서·논술형 5문항 = 총 21문항
- 배점: 총 100점 (선택형 60점 + 서·논술형 40점)
2. 시험범위
삼각형의 성질 ~ 확률 (출제 문항 기준)
- 삼각형의 성질 (이등변삼각형, 직각삼각형의 합동, 삼각형의 외심·내심): 1~9번, 서술형 1·4·5 — 12문항 62점
- 경우의 수와 확률: 10~16번, 서술형 2·3 — 9문항 38점
3. 출제경향 총평
① 난이도 분포
전체 21문항 중 20문항(약 95%)이 난이도 중상 이하입니다. 하 6문항·중 6문항으로 12문항(약 57%)은 공식과 기본 성질만으로 해결되는 문항이고, 중상이 8문항으로 비교적 많아 '한 번 더 생각해야 하는' 문항을 얼마나 정확히 처리하는지가 점수를 가릅니다. 상 문항은 5번 하나이고 최상 문항은 없습니다.
② 변별력 문제
5번(정사각형 안의 정사각형, 대각선 위의 꼭짓점 조건)이 가장 변별력이 큽니다. 합동인 직각삼각형을 찾아 길이를 옮기고, 대각선 위의 점이 만드는 직각이등변삼각형까지 연결해야 풀립니다. 그 다음으로 3번(종이 접기에서 이등변삼각형 찾기), 15번(넓이를 이등분하는 직선의 조건), 16번(곱이 짝수일 확률을 여사건으로 처리), 서술형 2(날씨 확률의 경우 나누기), 서술형 3(수직선 이동과 홀짝성)이 상위권을 가르는 문항입니다.
③ 변형 및 계산량
계산량은 전반적으로 가볍지만 생각할 거리를 준 변형 문항이 여럿 있습니다. 1·2번은 이등변삼각형 각 추적을 여러 번 이어야 하고, 16번은 2026·2027·2028처럼 큰 수를 넣어 홀짝만 보면 된다는 점을 알아채야 합니다. 9번은 주어진 수치(넓이 67.5, 외접원 넓이 64π, 내접원 둘레 6π)가 서로 정확히 맞지는 않아, 수치를 그대로 이용하는 풀이(높이 9 - 외접원 반지름 8, 내접원 반지름 3)로 답 2cm를 얻도록 의도된 것으로 보입니다.
④ 서답형(논술형) 분석
서·논술형 5문항 40점입니다. 서술형 1(외심·내심의 위치)과 서술형 4(이등변삼각형 성질 증명), 서술형 5(내심과 평행선)는 교과서 핵심 성질을 서술하는 문항이어서 반드시 만점을 받아야 합니다. 서술형 1은 예각·직각·둔각삼각형 세 경우를 모두 써야 하고, 서술형 4는 SAS 합동 근거와 '∠ADB+∠ADC=180°이므로 각각 90°'까지 써야 완성됩니다. 서술형 2는 수요일 날씨를 두 경우로 나누는 과정, 서술형 3(2)는 '세 번 이동하면 위치가 홀수'라는 이유를 써야 확률 0을 인정받을 수 있습니다.
4. 문항별 분석표
아래 표는 전 문항(선택형 16 + 서·논술형 5)을 직접 풀이한 결과를 바탕으로, 상위권 학생 기준으로 난이도를 판정한 분석입니다. 서술형 소문항은 한 행에 묶어 서술했습니다.
| 문항번호 | 문제유형 | 출제의도 | 풀이전략 | 난이도 | 행동영역 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 이등변삼각형의 각 추적 | 여러 개의 이등변삼각형에서 밑각과 외각을 연결해 각을 구하는지 확인 | ∠A=a → ∠ABD=a, ∠BDC=2a=∠C=∠ABC → 5a=180, a=36°. ∠EAD=144°, AE=AD → ∠AED=18° → 정답 ③ | 중상 | 이해력 |
| 2 | 이등변삼각형의 각(밑변 위의 두 점) | 두 개의 이등변삼각형 밑각을 같은 문자로 나타내 각 관계를 찾는지 확인 | ∠A=∠C=c → ∠BDE=∠BED=90-c/2 → ∠DBE=c=30° → 정답 ④ | 중상 | 이해력 |
| 3 | 종이 접기와 이등변삼각형 | 접은 각과 엇각이 같아 이등변삼각형이 생김을 찾고 둘레를 길이 합으로 바꾸는지 확인 | 접은 각=엇각 → CA=CB, FD=FE → 둘레 = (CB+CD)+(FE+FA)=BD+AE=9+12=21cm → 정답 ⑤ | 중상 | 문제해결력 |
| 4 | 직각삼각형의 합동(RHA) 풀이 과정 | RHA 합동 증명 과정의 빈칸을 정확히 채우는지 확인 | ①90° ②CB ③∠CBE ④RHA 옳음, ⑤ DE=BE-BD=9-5=4cm이므로 5cm가 틀림 → 정답 ⑤ | 하 | 추론력 |
| 5 | 정사각형 안의 정사각형과 대각선 | 합동인 직각삼각형으로 길이를 옮기고 대각선 위 점의 성질(45°)을 연결하는지 확인 | AE=a, AH=h. △AEH≡△IFE → FI=a, IE=h. F가 대각선 BD 위 → BI=FI → 23-a-h=a, a+h=14 → a=9, h=5 → HD=18cm → 정답 ③ | 상 | 문제해결력 |
| 6 | 삼각형의 외심의 성질 | 외심과 내심의 성질을 구분하는지 확인 | 외심에서 세 꼭짓점까지 거리가 같음(OA=OB=OC). 세 변까지 거리가 같은 것은 내심 → 정답 ① | 하 | 이해력 |
| 7 | 외심·내심과 각의 크기 | 외심(∠BPC=2∠A)과 내심(∠BPC=90°+½∠A) 공식을 구분해 적용하는지 확인 | a=140°, b=90+35=125° → 차 15° → 정답 ③ | 중 | 계산력 |
| 8 | 직각삼각형의 외접원·내접원 넓이 | 외접원 반지름은 빗변의 절반, 내접원 반지름은 넓이로 구하는지 확인 | R=10 → 100π, ½r(12+16+20)=96 → r=4 → 16π → 차 84πcm² → 정답 ② | 중 | 계산력 |
| 9 | 이등변삼각형의 외심과 내심 사이 거리 | 외심과 내심이 꼭지각의 이등분선 위에 있음을 알고 높이와 반지름으로 거리를 구하는지 확인 | 높이=2×67.5/15=9, R=8, r=3 → AO=8, AI=9-3=6 → IO=2cm → 정답 ③ (주어진 수치끼리는 정확히 맞지 않아 의도된 풀이 기준으로 판정) | 중상 | 문제해결력 |
| 10 | 확률로 개수 구하기 | 확률의 뜻으로 방정식을 세우는지 확인 | x/(9+x)=2/5 → x=6 → 정답 ④ | 하 | 계산력 |
| 11 | 곱의 법칙 | 동시에 일어나는 경우의 수를 곱으로 구하는지 확인 | 3×4=12 → 정답 ⑤ | 하 | 계산력 |
| 12 | 동전 3개의 확률 | 독립 사건의 확률을 곱하는지 확인 | (1/2)³=1/8 → 정답 ① | 하 | 계산력 |
| 13 | 방정식을 만족하는 주사위 눈의 확률 | 조건을 만족하는 순서쌍을 빠짐없이 세는지 확인 | 3x+2y=15 → x 홀수: (1,6), (3,3) 2가지 → 2/36=1/18 → 정답 ② | 중 | 이해력 |
| 14 | 확률의 크기 비교 | 확률이 0, 1이 되는 경우와 여사건 확률을 판단하는지 확인 | ① 1 ② 0 ③ 5/6 ④ 1 ⑤ 3/5 → 정답 ② | 중 | 이해력 |
| 15 | 정사각형의 넓이를 이등분하는 직선의 확률 | 꼭짓점 O를 지나는 직선이 넓이를 이등분하려면 대각선이어야 함을 찾는지 확인 | O를 지나 넓이를 이등분 → 중심 (3,3)을 지남 → b/a=1 → a=b 6가지 → 6/36=1/6 → 정답 ④ | 중상 | 문제해결력 |
| 16 | 곱이 짝수일 확률(여사건) | 곱의 홀짝을 각 인수의 홀짝으로 바꾸고 여사건으로 처리하는지 확인 | 곱이 홀수 ⇔ a+2026, b+2027, c+2028 모두 홀수 ⇔ a 홀, b 짝, c 홀 → (1/2)³=1/8 → 1-1/8=7/8 → 정답 ① | 중상 | 추론력 |
| 서술형 1 | 삼각형의 모양에 따른 외심·내심의 위치 | 외심과 내심의 위치를 삼각형의 종류별로 정확히 서술하는지 확인 | 외심: 예각삼각형은 내부, 직각삼각형은 빗변의 중점, 둔각삼각형은 외부. 내심: 삼각형의 모양과 관계없이 항상 내부 | 하 | 이해력 |
| 서술형 2 | 연속된 날의 날씨 확률 | 중간 날의 날씨를 두 경우로 나누어 확률의 곱과 합을 적용하는지 확인 | 화(비) → 수 비(3/4)·목 안 옴(1/4)=3/16, 수 안 옴(1/4)·목 안 옴(2/3)=1/6 → 3/16+1/6=17/48 | 중상 | 문제해결력 |
| 서술형 3 | 수직선 위 점의 이동 확률(소문항 3) | 이동 횟수와 위치의 관계(홀짝성)를 파악해 확률을 구하는지 확인 | (1) 오른쪽·왼쪽 각 1번 → 2×(1/2)²=1/2 (2) 3번 이동 후 위치는 홀수 → 2는 불가능 → 0 (3) 3번 모두 짝수 → 1/8 | 중상 | 추론력 |
| 서술형 4 | 이등변삼각형 꼭지각 이등분선의 성질 증명 | SAS 합동으로 밑변을 수직이등분함을 논리적으로 증명하는지 확인 | AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD 공통 → △ABD≡△ACD(SAS) → BD=CD, ∠ADB=∠ADC이고 합이 180°이므로 각각 90° → 수직이등분 | 중 | 추론력 |
| 서술형 5 | 내심과 평행선 | 내심을 지나는 평행선에서 이등변삼각형이 생김을 이용하는지 확인 | ∠DBI=∠IBC=∠DIB(엇각) → DI=DB=6, 같은 방법으로 EI=EC=8 → DE=14cm | 중 | 이해력 |
5. 분석 요약
난이도 분포
- 하: 6문항 / 중: 6문항 / 중상: 8문항 / 상: 1문항 / 최상: 0문항
행동영역 분포
- 계산력 5문항 / 이해력 7문항 / 추론력 4문항 / 문제해결력 5문항
학습 권장 전략
삼각형의 성질(62점)이 중심이고 확률(38점)이 뒤를 받치는 구성입니다. 삼각형 단원은 이등변삼각형 각 추적과 외심·내심 성질을 정확히 구분하는 것이 핵심이며, 5번처럼 합동으로 길이를 옮기는 문항이 변별 포인트입니다. 확률 단원은 공식 대입보다 '조건을 다른 말로 바꾸기'(넓이 이등분 → 중심 통과, 곱이 짝수 → 여사건, 위치 → 홀짝)를 설명할 수 있어야 중상 문항을 놓치지 않습니다.
6. 준비 방향
상위권 학생 기준으로, 이 시험 유형에 대비하는 방향을 정리합니다.
① 목표 등급별 공략 라인
90점 이상을 목표로 한다면 하·중 12문항(서술형 1·4·5 포함)을 모두 맞히고, 중상 8문항 중 대부분을 해결해야 합니다. 만점권은 5번까지 시간 안에 풀어야 하므로, 확률의 정형 문항(10~14번)을 빠르게 처리해 시간 여유를 만드는 것이 좋습니다.
② 단원별 우선순위·비중
삼각형의 성질 단원이 62점으로 비중이 크므로 이등변삼각형 각 추적, 직각삼각형 합동, 외심·내심의 성질을 우선 정리해야 합니다. 확률 단원은 여사건, 경우 나누기, 홀짝 판단처럼 '조건 바꾸기'가 필요한 유형을 중점적으로 연습하는 것이 효과적입니다.
③ 변별 문항 심화 포인트
5번 유형은 정사각형 안에 정사각형이 기울어져 있으면 합동인 직각삼각형 네 개를 찾는 습관이 필요하고, 대각선 위의 점은 두 변까지 거리가 같다는 점을 함께 떠올려야 합니다. 3번 유형은 '접은 각 = 원래 각 = 엇각'으로 이등변삼각형을 찾는 원리를 이해해야 하며, 15·16번과 서술형 3은 조건을 간단한 형태로 바꾼 뒤 세는 연습이 필요합니다.
④ 실수 방지·서답형 대비
6·7번처럼 외심과 내심을 비교하는 문항은 두 점의 성질(꼭짓점까지 거리 / 변까지 거리, 2∠A / 90°+½∠A)을 표로 정리해 두면 혼동이 줄어듭니다. 증명 서술형은 합동 조건의 근거 세 가지와 결론까지 빠짐없이 쓰고, 확률 서술형은 경우를 나눈 이유와 각 경우의 확률을 식으로 남겨야 부분 점수를 지킬 수 있습니다.
⑤ 시험 운영 전략
4·6·10~12번은 즉답 문항이므로 빠르게 처리하고, 1·2·5번처럼 각 추적과 길이 옮기기가 필요한 문항에 시간을 배분하는 것이 좋습니다. 9번처럼 조건이 많은 문항은 필요한 수치(높이, 두 반지름)만 골라 쓰고, 막히면 표시 후 넘어갔다가 마지막에 돌아오는 것이 효과적입니다.
자주 묻는 질문
Q. 조암중 2학년 2학기 중간고사 시험범위는 어디였나요?
삼각형의 성질(이등변삼각형, 직각삼각형의 합동, 외심·내심)부터 경우의 수와 확률까지였습니다. 삼각형 12문항 62점, 확률 9문항 38점으로 출제됐습니다.
Q. 이번 시험에서 가장 어려운 문항은 무엇이었나요?
5번(정사각형 안의 정사각형, 대각선 위의 꼭짓점 조건)입니다. 합동인 직각삼각형으로 길이를 옮기고 직각이등변삼각형까지 연결해야 풀립니다. 3번(종이 접기), 15·16번(확률의 조건 바꾸기), 서술형 2·3도 상위권을 가르는 문항이었습니다.
Q. 확률 단원은 어떻게 준비하면 좋을까요?
공식을 대입하는 것보다 조건을 다른 말로 바꾸는 연습이 중요합니다. 넓이를 이등분하는 직선은 중심을 지난다, 곱이 짝수인 경우는 여사건으로 센다, 이동한 위치는 홀짝으로 판단한다처럼 조건을 간단하게 바꿀 수 있어야 합니다.
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